El presente Artículo Técnico Subterráneo, o Artículo Minero, tiene como propósito describir una metodología integral para la verificación de la estabilidad de pilares inclinados en minería subterránea, integrando los métodos empíricos de Lunder & Pakalnis (1994), Hoek & Brown (1980) y el criterio de Hedley & Grant (1972) para esfuerzos inducidos, junto con la geometría real del pilar, (que puede variar según las necesidades de cada productor minero, las características geológicas de cada yacimiento y las condiciones especificas de cada pórfido) y el método de área tributaria.

1. Fundamentos teóricos.

Se definen las ecuaciones básicas y parámetros necesarios para el análisis geomecánico de pilares en excavaciones subterráneas. 

1.1 Factor de seguridad del pilar.

Se define como la razón entre la resistencia del pilar y la fuerza solicitante por unidad de área, como se muestra en la Ecuación 1.

FS = Sp / σp

Ecuación 1. Factor de Seguridad

Donde:

Sp = Resistencia del pilar [MPa]

σp = Esfuerzo sobre el pilar [MPa].

Un pilar es estable si FS ≥ 1.6 (Salamon & Munro, 1967).

1.2 Resistencia del pilar — Método de Lunder & Pakalnis (1994):

Basado en la Resistencia a la Compresión Uniaxial (UCS) del macizo rocoso y la geometria del pilar (ancho Wp, altura h). El método de Lunder & Pakalnis, a diferencia de los demás autores, incluye el confinamiento de los pilares a través del “efecto forma” (un aumento en la relación w/h aumenta la resistencia del pilar),

Cpav = 0,46 * [log((Wp/h)+0,75)]^(1,4/ (Wp/h))

Ecuación 2, Cpav de Lunder & Pakalnis

Además, incluye la fricción del pilar, tomando un confinamiento fijo para estimar la posición en el diagrama del círculo de Mohr y se estima el ángulo de fricción efectivo, realizando esto para varios valores de confinamiento llegan a la Ecuación 3.

κ = tan[arccos((1 - Cpav)/(1 + Cpav))].

Ecuación 3. k de Lunder & Pakalnis.

Finalmente, realizando una regresión de los datos estudiados, la fórmula de resistencia de pilares propuesta por los autores corresponde a la Ecuación 4.

Sp = K*UCS* (C1 + C2*κ)

Ecuación 4. Resistencia de Pilares de Lunder & Pakalnis.

Donde:

K: factor de tamano del macizo roco 0,3 - 0,51. En promedio 0,44 (de 178 observaciones de pilares en roca dura).

UCS: Resistencia a la Compresión Uniaxial roca intacta [MPa]

C1, C2: Constantes de ajuste iguales a 0,68 y 0,52 respectivamente.

κ: Factor que representa la resistencia del pilar debido a la fricción interna.

1.3 Esfuerzo sobre el pilar — Método de área tributaria

Por otro lado, el cálculo de la solicitancia de los pilares se calcula con el método de área tributaria. Este método asume que un pilar soportará la carga que se redistribuye luego de realizar una excavación. La carga sobre los pilares será uniforme y es una función del tamaño de la excavación y el tamaño del pilar.

La fórmula general para el esfuerzo sobre el pilar corresponde a la Ecuación 5.

σp = σv*(Atrib / Apilar)

Ecuación 5. Esfuerzo sobre pilar por área tributaria

La carga litostática depende la profundidad de la excavación, H, como del peso específico, γ, como se ve en la Ecuación 6.

σv = γ* H:

Ecuación 6. Carga litostática.

Además, el área tributaria se puede obtener como se presenta en la siguiente figura.

Figura 1. Área tributaria de pilar.

De esta forma,

Área Tributaria (Atrib) = (Wo + Wp)(Lo + Lp).

Área del pilar (Apilar) = Wp*Lp

Además, dicha carga tributaria se puede expresar en términos de la razón de extracción r (área minada/área total), como se presenta en figura 2. considerando,

Figura 2. Razón de extracción, r.

No obstante, si se considera el caso de pilares en forma irregular, dicha carga tributaria se puede expresar en función del área de columna de roca sobre el área del pilar, como se presenta en figura 3.

Figura 3. Estimación de cargas - área tributaria caso Pilares forma Irregular.

Para macizos con pilares inclinados o romboidales, el área tributaria se corrige geométricamente (ver sección 2.2).

1.4 Estimación de cargas, área tributaria, pilares inclinados— Hedley & Grant (1972)

realizar un análisis de estabilidad, para dichos pilares irregulares, pero considerando áreas de rombos y romboides para su área y área tributaria, en vez de áreas de cuadrados, y además, considerando una ecuación para pilares inclinados.

Figura 4. Esfuerzos inducidos en pilar inclinado. Hedley & Grant (1972)

No obstante, si bien existe una ecuación para pilares inclinados, que considera los esfuerzos vertical, horizontal, ángulo de inclinación y razón de extracción, dada por,

σp =(σv*cos²θ + σh*sin²θ)/(1-r)

Ecuación 7. Estimación de cargas, Hedley & Grant (1972)

k = 2.75 (promedio tectónico en Chile).

No existe una ecuación directa para obtener la Razón de Extracción para pilares Irregulares, sino solo para pilares cuadrados y rectangulares, por lo que, para aplicar dicha ecuación, se debe formular una razón de extracción para el caso de estudio.

2. Fórmula propuesta de esfuerzo inducido de pilar inclinado

Finalmente, tras formular una ecuación matemática para la razón de extracción del pilar irregular dado, con área de pilar con geometría de rombo y área tributaria con geometría de romboide, pude utilizar dicha ecuación en la ecuación de pilares inclinados, y hallar finalmente, el esfuerzo inducido del pilar. 

Ecuación 8. Formula propuesta de esfuerzo inducido de pilar inclinado para la razón de extracción del pilar irregular dado, con área de pilar con geometría de rombo y área tributaria con geometría de romboide. Aureliano Ruiz Molina (2025).

En virtud de que Sernageomin solicita realizar un análisis de estabilidad que se pueda aplicar a cada proyecto en especifico, se Se propone el siguiente método para obtener un análisis de estabilidad para un método Room and Pillar pero considerando yacimiento mantiforme, y que se encuentra con un manteo de b, donde ventanas paralelas al manteo, cortan las calles principales en un angulo 60°/120°, lo que genera que los pilares tengan un área de rombo, en vez de un cuadrado, ya que todos sus lados son iguales, pero varían sus ángulos, pasando de un análisis tradicional con configuración de pilares  para un método de Room and Pillar general, sin ángulo de inclinación y considerando una fórmula para casos de pilares irregulares, pero aplicándola para el caso de pilares cuadrados, a un análisis de estabilidad, para dichos pilares irregulares, pero considerando áreas de rombos y romboides para su área y área tributaria, en vez de áreas de cuadrados, y además, considerando una ecuación para pilares inclinados.

2.1Desarrollo geométrico del pilar inclinado

considerando Área de Pilar como área de rombo de lado Wp = Lp y ángulos 60°/120°, se tiene

Figura 5: Rombo formado por pilar

Donde se obtiene el área de pilar como ,

Área pilar = (Diagonal mayor (D) * Diagonal menor (d) )/ 2

Ecuación 9. Formula Área pilar como área de rombo formado por pilar

Analizando triángulo rectángulo formado,

Figura 6. Triángulo rectángulo formado desde rombo

Se obtiene que,

D = 2*Wp*sin(60°) y d = 2*Wp*cos(60°),

Ecuación 10. Valores de D y d.

y así,

Ecuación 11. Formula Área pilar como área de triangulo rectángulo.

Luego, con la identidad trigonométrica, sin(2Ɵ) = 2sin(Ɵ)cos(Ɵ), se obtiene,

Área Pilar=Wp² sin⁡(2Ɵ)

Ecuación 12. Formula Área pilar como área de triangulo rectángulo y formula trigonométrica.

Luego, considerando el Ancho Equivalente We,

Ecuación 13. Formula We, Ancho Equivalente.

Se obtiene ecuación de ancho equivalente, y considerando Wp [m] y Ɵ = 60°,

Ecuación 14. Formula Ancho Equivalente propuesto.

Finalmente, debido a que ventanas tienen ángulo 60°/120°, Área Tributaria conserva sus ángulos, no obstante dado que ancho y largo tributario son distintos, se considera el área de romboide formado de área = Base*Altura, donde la base corresponde al largo del pilar más largo de calle Lo.

Figura 7. Romboide formado por Área Tributaria de Pilar Inclinado

Ilustración de esfuerzos inducidos en pilar inclinado. Hedley and Grant (1972).

Así, se puede obtener el siguiente triángulo,

Figura 8. Triángulo rectángulo formado por área tributaria romboide

se obtiene h,

h = (Wp*sin(2Ɵ) + Wo)*cos(30°) = (We + Wo)*cos(30)

Ecuación 15. Formula h Propuesta a partir de We propuesto y formula trigonométrica.

Así, utilizando la ecuación de un romboide para obtener el área tributaria, con base B = Lp + Lo, Lp [m] y Lo [m],  altura h = (We + Wo)*cos(30),

Área Tributaria = (Lp + Lo)(We + Wo)*cos(30))

Ecuación 16. Formula Área Tributaria Propuesta

Y en particular, se puede obtener la Razón de Extracción,

Ecuación 17. Formula r Propuesta

Luego, considerando que el proyecto se realizará en un manto sub – horizontal, para estimar la carga mediante área tributaria, se calcula esfuerzo inducido para pilares con inclinación Ɵ según fórmula de Hedley and Grant (1972), 

Considerando Ɵ = alfa = b°, el angulo de manteo, se tiene un esfuerzo inducido dado por,

σp =(σv*cos²θ + σh*sin²θ)/(1-r)

Ecuación 18. Formula de esfuerzos inducidos en pilar inclinado. Hedley and Grant (1972).

De dicha forma, y considerando diseño de pilar según metodología de Hoek y Brown, considerando esfuerzos presentes en un ambiente tectónico, con Esfuerzo Vertical  v  = 0,027*H [MPa], con H columna de roca a superficie, y considerando Esfuerzo Horizontal como Con  h=k*v, con k función tectónica que en Chile varía entre 2,5 y 3. En presente proyecto se utilizará promedio de función tectónica k = 2,75, H = [m] y alpha = b° de manteo y Ɵ =  60° se tiene,

Ecuación19. Formula propuesta de esfuerzo inducido de pilar inclinado. Aureliano Ruiz Molina (2025).

Finalmente, considerando ecuaciones generales de Sp,

Ecuación 20. Formula Resistencia de Pilares

Y considerando ecuación p obtenida pasos atrás, se puede calcular el Factor de Seguridad para los pilares del presente proyecto, en función del ancho y largo del pilar, como de su altura y magnitud de columna de roca a superficie, para un pilar irregular inclinado mediante la siguiente ecuación,

Ecuación 21. Formula propuesta de Factor de Seguridad Propuesta Considerando Resistencia de Lunder y Pakalnis (1994) y esfuerzo inducido de pilar inclinado para la razón de extracción del pilar irregular dado, con área de pilar con geometría de rombo y área tributaria con geometría de romboide. Aureliano Ruiz Molina (2025).

El cual se considera estable si Pilar estable (FS > 1.6).

Figura 9. Factor de Seguridad, Salamon and Munro, 1967

3. Conclusión técnica.

El método propuesto permite evaluar la estabilidad de pilares inclinados considerando geometría real, condiciones tectónicas y criterios empíricos calibrados. Los resultados muestran FS > 1.6, confirmando estabilidad estructural del pilar analizado.

Consultoría Minera Ruiz Molina EIRL.

DOI: 10.13140/RG.2.2.20501.79840/1

Licencia CC BY-NC-ND 4.0

ORCID ID: 0009-0008-5230-0087 

Un Paso Hacia la Geomecánica de Precisión

Tras el desarrollo detallado de esta Metodología Integrada, cerramos este Artículo Técnico con una reflexión sobre su impacto y la puerta que abre a la geomecánica minera moderna. Hemos pasado de la simplificación geométrica a la precisión analítica al abordar el diseño de pilares en condiciones reales de campo.

¿Qué se Logró con esta Investigación?

El logro fundamental de esta investigación es la generación de una herramienta analítica más fiel a la realidad geotécnica de los yacimientos mantiformes.

1.  Fórmula Analítica Única para FS: Se desarrolló la  Ecuación 21, una fórmula de Factor de Seguridad (FS) que por primera vez integra criterios de resistencia (Lunder & Pakalnis) y criterios de esfuerzo inducido (Hedley & Grant) en una sola expresión coherente.

2.  Superación de la Simplificación Geométrica: Se abandonaron las suposiciones de pilares cuadrados para abrazar la geometría romboidal y de área tributaria romboide, típicamente generada por la inclinación de la veta. La clave fue la formulación de una razón de extracción (r) corregida geométricamente, ofreciendo un valor de esfuerzo inducido (sigma p) que es más representativo de la carga real que soporta el pilar.

3.  Integración de la Tectónica Local: El modelo incorpora rigurosamente las condiciones tectónicas chilenas  (factor k=2.75) en el cálculo del esfuerzo, factor vital para la estabilidad estructural en macizos rocosos sometidos a altos esfuerzos horizontales.

El resultado es un sistema de verificación de estabilidad que no solo cumple con los requisitos normativos (FS > 1.6), sino que eleva el estándar de la ingeniería de diseño en minería subterránea.

¿Por Qué es Importante esta Investigación?

La importancia de esta metodología radica en su impacto directo sobre la seguridad operativa y la eficiencia económica de la minería:

Gestión de Riesgos Rigurosa: Permite a los ingenieros y geomecánicos pasar de un análisis de diseño "aproximado" a una evaluación robusta y adaptada al sitio. Minimizar el riesgo de falla de pilares es la prioridad máxima en la minería subterránea.

Optimización de Recursos: Un diseño más preciso permite optimizar las dimensiones del pilar. Un pilar no sobredimensionado garantiza una mayor recuperación de mineral, mejorando la rentabilidad sin comprometer la seguridad.

Aplicabilidad en Yacimientos Complejos: El modelo ofrece una solución práctica donde los métodos tradicionales fallan: en yacimientos con manteos variables y geometrías irregulares. Esta es una necesidad técnica creciente en la mediana y gran minería latinoamericana.

Base para Modelos Futuros: Esta formulación geométrica y analítica sienta las bases para futuras calibraciones con herramientas numéricas (elementos finitos o discretos), permitiendo que los modelos empíricos y numéricos conversen de manera más efectiva.