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Shrinkage stoping
¿Es suficiente el k=2 en el diseño geomecánico minero? La estabilidad del Shrinkage Stoping bajo la lupa del Cinturón de Fuego del Pacífico.
Autor: Aureliano Ruiz Molina.
Afiliación: Consultoría Minera Ruiz Molina E.I.R.L.
© 2025 Aureliano Ruiz Molina – Todos los derechos reservados.
DOI: 10.13140/RG.2.2.34261.08165
Licencia: CC BY-NC-ND 4.0
ORCID ID: (0009-0008-5230-0087)
Introducción.
Los cálculos de Caserones se realiza de manera analítica según shrinkage stoping, una técnica de minería subterránea para vetas angostas y verticales, que consiste en extraer el mineral en tajadas horizontales ascendentes. Una parte del mineral triturado se deja en el fondo como soporte y plataforma de trabajo, mientras que el resto se acumula para su posterior evacuación. Este método se usa cuando la roca circundante y el mineral son estables y el yacimiento tiene un buzamiento pronunciado, no obstante es interesante su diseño geomecánico.
La minería subterránea requiere de un diseño riguroso para garantizar la estabilidad de las excavaciones, la seguridad operacional y la viabilidad económica. El método de explotación Shrinkage Stoping se aplica tradicionalmente a yacimientos de vetas angostas y verticales, destacándose por utilizar parte del mineral quebrado como soporte temporal y plataforma de trabajo. Sin embargo, la efectividad del método depende fundamentalmente de la estabilidad geomecánica de las cajas y la infraestructura circundante.
El análisis de la estabilidad en este contexto se aborda a través de metodologías empíricas consolidadas, como el Gráfico de Estabilidad N' de Mathews (Stewart y Forsyth, 1995), el cual relaciona el número de estabilidad N' con el radio hidráulico (RH) para definir el límite de estabilidad sin refuerzo de un caserón.
El presente artículo aplica el método N' para evaluar la estabilidad de los caserones diseñados bajo Shrinkage Stoping, demostrando su ubicación dentro de la zona estable. No obstante, el objetivo principal de este trabajo es identificar y proponer oportunidades de consolidación metodológica en la ingeniería geomecánica para las excavaciones subterráneas conectadas (e.g., galerías de extracción). Específicamente, se discute la necesidad de ajustar el método analítico en dos aspectos críticos para la seguridad y el diseño en el contexto geológico del Cinturón de Fuego del Pacífico:
La subestimación del esfuerzo in situ resultante de limitar el factor de actividad tectónica (k) a un valor de 2.
La falta de una metodología analítica robusta para aproximar la estabilidad en excavaciones con geometrías extremas (l x, y), como las galerías largas.
A través de esta discusión, se busca establecer las bases para una evaluación de estabilidad más representativa y segura en proyectos mineros subterráneos en regiones sísmicamente activas.
2. Metodología Geomecánica (o Modelo de Estabilidad N' de Mathews)
La estabilidad de las excavaciones en minería subterránea está estudiada por distintos autores que utilizan modelos empíricos. Entre ellos Steward y Forsyth (1995) entregan un Gráfico de Estabilidad que relaciona el coeficiente de estabilidad N’ con el radio hidráulico (RH) de tal forma de identificar las condiciones de estabilidad de la labor.
2.1 Cálculo del Número de Estabilidad (N')
El número de estabilidad N’ se calcula utilizando la Ecuación 01:
N’ = Q’ x A x B x C
Ecuación 01: Cálculo N' de Mathews.
Donde,
A: Factor de esfuerzos.
B: Factor de orientación de discontinuidades.
C: Factor de ajuste por gravedad.
Q’: Q de Barton modificado.
El factor A corresponde a un ajuste por los esfuerzos in-situ, para ello se considera la resistencia a la compresión uniaxial (UCS) de la roca y el máximo esfuerzo de compresión inducido, con la razón entre ambos valores se ingresa al gráfico de la Figura 1 y se obtiene el valor del factor A.
Figura 1: Factor A, N' de Mathews.
El factor B, realiza un ajuste por la orientación de las discontinuidades respecto de la superficie de excavación. Este factor también se obtiene de manera gráfica y para ello se requiere el ángulo entre la excavación y la discontinuidad.
Figura 2: Factor B, N' de Mathews.
El factor C, realiza un ajuste debido a la gravedad. Se obtiene gráficamente en función del modo de falla. Se utiliza el gráfico de la Figura 3, acorde al tipo de falla esperada dada la orientación de las estructuras.
Figura 3: Factor C, N' de Mathews.
Luego, en virtud de la litología presente se considera el Q de Barton Modificado, utilizando los promedios de RQD, Jr, Jn y Ja de las litologías presentes, mediante la fórmula,
Q' = (RQD*Jr)/(Jn*Ja)
Ecuación 03: Cálculo N' de Q de Barton Modificado.
Con lo cual se obtiene un numero de estabilidad N'
N’ = Q’ x A x B x C
2.2 Cálculo del Radio Hidráulico (RH)
A continuación considerando las dimensiones de los caserones, se puede determinar Radio Hidráulico para la pared colgante (HW), pared de pie (FW), frente de la labor (EW) y para el techo, utilizando la ecuación 2,
Radio Hidráulico = (Área de sección de la labor)/(Perímetro de la labor)
Ecuación 04: Cálculo N' de Q de Barton Modificado.
En donde el caserón presenta la siguiente geometría.
Figura 4: Ilustración de Radio Hidráulico.
3. Estabilidad del Caserón (o Criterio de Estabilidad)
Finalmente, se puede obtener límite de estabilidad sin refuerzo para caserones, analizando gráfico de Radio Hidráulico y N’, de dicha forma, utilizando gráfico de límite de estabilidad sin refuerzo de Hutchinson and Diederichs, 1996, donde los caserones del proyecto se encuentran en zona estable, en donde hay poco o ningún deterioro durante el periodo de servicio.
Figura 5: Gráfico de Radio Hidráulico y N’.
4. Análisis de Excavaciones Conectadas: Oportunidades de Consolidación
No obstante, en cuanto a los caserones de Shrinkage en general se solicita realizar un análisis de las excavaciones subterráneas que conectan a dichos caserones, y es ahí en donde hay oportunidades de mejora.
En particular, para determinar el factor de esfuerzos de los planos que componen la unidad de explotación, en primer lugar se determina el estrés inducido en el punto medio de cada plano en estudio mediante curvas de diseño. Stewart y Forsyth (1995) introdujeron las curvas de diseño para determinar el estrés inducido en todos los planos que componen la unidad de explotación. Las figuras 1 y 2, muestran las curvas de diseño empleadas en los planos Crown/End Wall y Hanging/Foot Wall, respectivamente.
Figura 06: Curvas de diseño para los planos Crown / End Wall (Stewart & Forsyth, 1995).
Figura 07: Curvas de diseño para los planos Hanging / Foot Wall (Stewart & Forsyth, 1995).
Además, considerando desarrollos de Stewart (2001), sobre cuantificación del efecto de los estados de relajación en excavaciones, se tiene que para los estados de relajación total y tangencial el factor A debe ser fijado a 0,7, y en caso de que el estrés inducido sea negativo el Factor A toma el valor de 1, a menos que exista relajación total o tangencial donde el Factor A será 0,7, donde según si se presenta, Relajación Total: Al menos dos esfuerzos principales sean menor a 0,2 MPa 0,7 o, Relajación Tangencial: Al menos un esfuerzo principal sea menor a 0,2 MPa y paralelo dentro de 20° respecto a la pared del caserón 0.7.
En particular, para una galería de extracción con dimensiones de x m de ancho, y m de altura y l m largo, ubicado a una columna de roca máxima de z m de profundidad, se obtiene Factor A, mediante la razón entre Esfuerzo a la compresión uniaxial y esfuerzos inducidos en cada plano. Además, la relación entre el esfuerzo vertical y el horizontal se define por la constante de actividad tectónica k. En particular se considera k = 2, valor aceptado para países sísmicos. Por lo tanto, se consideran los siguientes esfuerzos,
σz = σ3; σHz = σ2 = σ1
σz = ɣ〖10〗^(-2)H
σHz = kσv
Luego, los esfuerzos inducidos en cada plano del caserón en estudio, se obtiene considerando los esfuerzos in situ en cada plano.
Luego, se tiene como oportunidad de mejora considerar un método analítico mediante ábacos que alcancen la constante 3 en actividad tectónica k, y no sólo hasta 2, pues de lo contrario se puede presentar una subestimación respecto a la actividad tectónica en yacimientos que pertenecen al Cinturón de Fuego del Pacífico.
La justificación para k = 3 se apoya en que la medición de esfuerzos in situ en importantes distritos mineros de la Cordillera de los Andes (e.g., Chile y Perú), donde predomina la tectónica de convergencia de placas, consistentemente se revelan regímenes de compresión horizontal máxima (sigma_{Hmax}) que superan con creces el esfuerzo vertical.
Investigaciones y bases de datos regionales (como las de World Stress Map o estudios de grandes minas) a menudo indican que la relación de esfuerzo principal mayor a vertical sigma_1 / sigma_v o el factor k = sigma_{Hz} / sigma_v oscila entre 2.5 y 3.5 a profundidades significativas. La persistencia en utilizar k=2 en las curvas de diseño para determinar sigma_{máx inducido} no solo es una simplificación, sino que implica un riesgo de subestimación sistemática del nivel de esfuerzo en los hastiales de las excavaciones, lo que exige la inclusión de abacos que alcancen k=3 para el diseño de infraestructura crítica.
Además, se presenta una oportunidad de mejora en cuanto a una metodología analítica que permita obtener una aproximación de la estabilidad de excavaciones cuando éstas presentan,
l >> x,
l >> y.
Para abordar la limitación de la aproximación de Tensión Plana (2D) en galerías con l >>x y l >>y (típico de galerías de transporte y extracción), se propone la adopción de una metodología híbrida que combine el análisis de la estabilidad global (Mathews $N'$) con una evaluación de la estabilidad local de losa o techo.
Cuando la relación de esbeltez de la labor es alta, la roca del techo no actúa simplemente como un arco, sino como una Viga o Placa bajo carga. Se recomienda utilizar modelos analíticos simplificados basados en la Teoría de Vigas (Beam Theory) para estimar la profundidad de la relajación de la losa y el tiempo de autosoporte del techo. Este enfoque proporciona una estimación más robusta de:
El factor de seguridad a la flexión del techo.
La altura de caída potencial del techo ({H_{C}) para fines de diseño de soporte.
Esta aproximación analítica (Vigas/Placas) se usa como un complemento esencial al N', especialmente en el cálculo de las dimensiones de excavaciones a largo plazo, y debe ser contrastada con el Modelamiento Numérico 3D en las fases finales del diseño para validar la distribución de esfuerzos en puntos críticos como los drawpoints (puntos de extracción).
Un ejemplo numérico puede ser el siguiente,
Cálculo del Esfuerzo Vertical (sigma_v):
sigma_v = σz =27 [kN/m]}^3) *(1000 [ m]) = 27,000 [kPa] = 27 MPa.
Comparación del Esfuerzo Horizontal y Factor A.
El Factor A se obtiene ingresando la razón {UCS}/{sigma_{máx inducido}} en la Figura 1 (Gráfico de Mathews).
En una galería, el esfuerzo máximo inducido en el hastial es proporcional al esfuerzo horizontal in situ (sigma_{Hz}).
Conclusión Numérica:
Al aumentar k de 2 a 3, el Factor A se reduce aproximadamente de 0.70 a 0.55. Dado que N' = Q' x A x B x C, esta disminución del 21% en el Factor A, se traduce directamete en una reducción del 21% en el Número de Estabilidad N'.
Un reducción de N' del 21% pordría mover la labor de la zona Estable a la zona de Transición (o potencialmente inestable), validando la necesidad de ajustar un k mayor.
5. Conclusión.
El análisis geomecánico aplicado a los caserones diseñados bajo el método Shrinkage Stoping confirma que la metodología del Gráfico de Estabilidad N' de Mathews proporciona un marco sólido para determinar los límites de estabilidad sin refuerzo. Los caserones evaluados se encuentran en la zona de estabilidad, asegurando el periodo de servicio bajo las condiciones de diseño estándar.
Sin embargo, la principal conclusión de este trabajo radica en la necesidad de ampliar el alcance metodológico para una evaluación integral de la unidad de explotación, especialmente en las galerías de extracción que conectan los caserones. Las oportunidades de mejora identificadas son cruciales para mitigar el riesgo geomecánico:
Factor de Esfuerzos Tectónicos (k): Se determinó que la limitación de los abacos y curvas de diseño a un factor de actividad tectónica k > 2 podría resultar en una subestimación crítica de los esfuerzos inducidos. Es imperativo que la metodología analítica se extienda para considerar factores k de hasta 3, los cuales son más representativos de los regímenes de esfuerzo compresivo en yacimientos ubicados en zonas sísmicas como el Cinturón de Fuego del Pacífico.
Aproximación para Geometrías Extremas: Existe una brecha metodológica en la aproximación de la estabilidad para excavaciones con geometrías alargadas (l >>x e l >>y), donde la suposición de Tensión Plana (2D) es limitada. Se recomienda enfáticamente el desarrollo o la adopción de una metodología analítica que incorpore consideraciones de modelado tridimensional (3D) o aproximaciones basadas en la Teoría de Vigas o Placas para asegurar la estabilidad a largo plazo de estos desarrollos.
En síntesis, la consolidación de un método de diseño geomecánico unificado requiere la calibración continua de las herramientas analíticas a las condiciones de esfuerzo y geometría reales, asegurando que la evaluación de estabilidad sea no solo técnica, sino también contextual y exhaustiva.
Discusión y oportunidad de mejora: Oportunidades de Consolidación Metodológica en el Análisis Geomecánico
Si bien el Gráfico de Estabilidad N' es una herramienta empírica fundamental para el diseño de caserones, la evaluación de las excavaciones conectadas requiere una atención especial, ya que son puntos críticos en la infraestructura de la mina. Los siguientes argumentos identifican dos áreas clave donde la metodología analítica requiere ser consolidada para reflejar de mejor manera la realidad geomecánica.
1. Justificación de un Factor de Actividad Tectónica k = 3
El Factor A en la Ecuación 01 (Cálculo de N') es un ajuste crucial por los esfuerzos inducidos, los cuales dependen directamente de las condiciones de esfuerzo in situ. El modelo de esfuerzos in situ comúnmente utilizado en la evaluación analítica postula que el esfuerzo horizontal (sigma_{Hz) es una función del esfuerzo vertical (sigma_v) a través de la constante de actividad tectónica k, donde sigma_{Hz} = k_sigma_v.
En yacimientos que pertenecen al Cinturón de Fuego del Pacífico (e.g., Chile, Perú), el régimen de esfuerzos está fuertemente influenciado por la sismicidad y la tectónica de subducción. Este entorno impone un régimen de esfuerzos compresivos horizontales considerablemente altos. Si bien un valor de k=2 es aceptado en muchos modelos simplificados para países sísmicos, la evidencia recopilada a partir de mediciones directas de esfuerzos in situ en la región a menudo reporta valores de $k$ que superan este umbral, alcanzando frecuentemente valores cercanos a k=3 o incluso superiores.
Utilizar un valor de k=2 cuando el entorno geológico sugiere un k cercano a 3, resulta en una subestimación significativa del esfuerzo máximo de compresión inducido (sigma_{max}) en los planos de la excavación. Dado que el Factor A se calcula a partir de la razón entre la Resistencia a la Compresión Uniaxial (UCS) y sigma_{max}, una sigma_{max} subestimada conduce a un Factor A sobrestimado, lo que a su vez genera un Número de Estabilidad (N') irrealmente alto. Esta simplificación analítica es peligrosa, pues puede clasificar una labor como estable cuando en realidad podría estar sujeta a deterioro o falla temprana, especialmente en los hastiales de las galerías con orientación favorable a la compresión horizontal máxima. Por lo tanto, se vuelve imperativo que los abacos y las curvas de diseño utilizadas en el análisis incorporen y permitan la evaluación de un factor k de al menos 3 para asegurar un diseño conservador y representativo de la actividad tectónica.
2. Implicaciones de la Geometría l >> x, y y el Análisis 3D
El análisis de estabilidad para las galerías de extracción se basa a menudo en la suposición de Tensión Plana (2D). Esta simplificación es adecuada cuando la longitud ($l$) de la excavación no es excesiva en comparación con su ancho (x) y altura (y), asumiendo que las condiciones de esfuerzo y deformación no cambian significativamente a lo largo del eje longitudinal.
Sin embargo, en el caso de las galerías de extracción diseñadas para Shrinkage Stoping, se tiene con frecuencia una condición de geometría extrema donde la longitud es considerablemente mayor que la sección transversal (l >>x y l>> y). Bajo esta condición, el modelo de Tensión Plana falla en capturar la distribución real y el estado de relajación de los esfuerzos en la masa rocosa circundante.
Específicamente, en excavaciones muy largas, la redistribución de esfuerzos no puede modelarse de manera precisa con el enfoque 2D. Para la estabilidad del techo y el piso de estas galerías (el back y el floor, respectivamente), la masa rocosa comienza a comportarse más como una viga o una placa cargada en flexión, requiriendo un análisis que incorpore la variable longitudinal.
Para consolidar la evaluación geomecánica en estas geometrías, se sugiere:
Análisis Tridimensional (3D): La solución más precisa requiere el uso de modelamiento numérico tridimensional (3D), el cual permite capturar fielmente las concentraciones de esfuerzo y las zonas de relajación en los hastiales y en las caras de la labor, especialmente cerca de las intersecciones y los frentes.
Aproximaciones Analíticas Avanzadas: En ausencia de modelamiento numérico, se debe buscar una metodología analítica alternativa que trascienda la suposición 2D. Esto podría incluir aproximaciones basadas en la Teoría de Vigas o Placas para calcular la estabilidad del techo y el piso, lo cual requiere una formulación matemática diferente para estimar las deflexiones y el potencial de falla por flexión o cizalle.
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